Question

（1）如圖1,OC平分∠AOB,點(diǎn)P在OC上,若⊙P與OA相切,那么⊙P與OB位置關(guān)系是      ．

（2）如圖2,⊙O的半徑為2,∠AOB=120°,

①若點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PA=PB時(shí),是否存在⊙Q,同時(shí)與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,求出⊙Q的半徑; 如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

②若點(diǎn)P在BO的延長(zhǎng)線上,且滿足PA⊥PB,是否存在⊙Q,同時(shí)與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙Q的半徑; 如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）相切;（2）①存在,半徑可以為,4 ,,;②存在．其半徑可以為1,．

【解析】

試題分析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,則根據(jù)角平分線定義得到PD=PE,根據(jù)切線的性質(zhì)由⊙P與OA相切得到PD為⊙P的半徑,然后根據(jù)切線的判定定理可得到OB為⊙P的切線;

（2）①由PA=PB得到點(diǎn)P為∠AOB的平分線或反向延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn),分類討論：當(dāng)P點(diǎn)在優(yōu)弧AB上時(shí),當(dāng)P點(diǎn)在劣弧AB上時(shí),然后解四個(gè)方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑;

②作QH⊥PB于H,由PA⊥PB得∠APB=90°,由⊙Q與射線PA.PB相切,根據(jù)切線的性質(zhì)得PQ平分∠APB,即∠QPH=45°,所以QH=PH,在Rt△POA中易得OP=1,設(shè)⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,在Rt△OQH中,根據(jù)勾股定理得OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,

若⊙Q與⊙O內(nèi)切時(shí),OQ=2﹣r,得到（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,若⊙Q與⊙O外切時(shí),OQ=2+r,得到（2+r）²=（r﹣1）²+r²,然后解兩個(gè)方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑．

試題解析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,如圖1,

∵OC平分∠AOB,

∴PD=PE,

∵⊙P與OA相切,

∴PD為⊙P的半徑,

∴PE為⊙的半徑,

而PE⊥OB,

∴OB為⊙P的切線;

故⊙P與OB位置關(guān)系是相切;

（2）①存在

∵PA=PB,

∴點(diǎn)P為∠AOB的平分線或反向延長(zhǎng)線與⊙O的交點(diǎn),

如圖2,

當(dāng)P點(diǎn)在優(yōu)弧AB上時(shí), 設(shè)⊙Q的半徑為,

若⊙Q與⊙O內(nèi)切,可得,解得 ,

若⊙Q與⊙O外切,可得,  解得 ,

當(dāng)P點(diǎn)在劣弧AB上時(shí),

同理可得：x=,x= ,

綜上所述,存在⊙Q,半徑可以為,4 ,,;

②存在．作QH⊥PB于H,如圖3,

∵PA⊥PB,

∴∠APB=90°,

∵⊙Q與射線PA.PB相切,

∴PQ平分∠APB,

∴∠QPH=45°,

∴△QHP為等腰直角三角形,

∴QH=PH,

在Rt△POA中,∠AOP=60°,OA=2,

∴OP=1,

設(shè)⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,

在Rt△OQH中,OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,

若⊙Q與⊙O內(nèi)切時(shí),OQ=2﹣r,則（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=1,r₂=﹣3（舍去）;

若⊙Q與⊙O外切時(shí),OQ=2+r,則（2+r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=,r₂=（舍去）;

綜上所述,存在⊙Q,其半徑可以為1,．

．

考點(diǎn)：圓的綜合題．