Question

如圖，正方形ABCD中，點E從點A出發(fā)沿著線段AD向點D運動（點E不與點A、點D重合），同時，點F從點D出發(fā)沿著線段DC向點C運動（點F不與點D點、點C重合），點E與F點運動速度相同，當點E停止運動時，另一動點F也隨之停止運動，設(shè)BE和AF相交于點P，連接PC，請?zhí)骄浚?br/>（1）AF和BE有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由；
（2）當點E運動到AD中點位置時，PA：PB是多少？
（3）當點F運動到DC中點位置時，PC和BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）AF⊥BE．
∵E在AD邊上（不與A、D重合），點F在DC邊上（不與D、C重合）．
又點E、F分別同時從A、D出發(fā)以相同的速度運動，
∴AE=DF
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE．

（2）由（1）知當點E運動到AD中點時，點F也運動到DC中點，此時就有AF⊥BE．
∵F是CD的中點，∴DF=CD，∵AD=CD，∴DF=AD
∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中，tan∠2==
∴在Rt△APB中，tan∠1=
∴PA：PB的值是1：2．

（3）PC=BC．
證明：延長AF交BC的延長線于點G，
∵∠D=∠DCG=90°，DF=CF，∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴CG=AD，
∵BC=AD，∴CG=BC=BG，
由（1）知AF⊥BE，
∴∠BPG=90°，
∴△BPG為直角三角形
∴PC=BG，
∵BC=BG，
∴PC=BC．
分析：（1）根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥DE．
（2）要求兩條線段的關(guān)系，需要把兩者放入一直角三角形中，利用三角函數(shù)求解．根據(jù)題意可知此時AF⊥BE，又有中點的關(guān)系，可以得出tan∠2=，由∠1=∠2，可以求解．
（3）延長AF交BC的延長線于點G，可以得出△ADF≌△GCF，進而得出CG=AD，通過線段的轉(zhuǎn)換可以得出BC=BG，根據(jù)題意可以得出PC=BG，即可以得出結(jié)論．
點評：①本題考查了正方形的性質(zhì)，要求有比較高的讀圖能力．
②本題是探求性試題，做這類題前要求大膽的假設(shè)，根據(jù)假設(shè)再去證明．需要在平時做題中培養(yǎng)這種能力．