Question

（1）如圖1，已知∠EOF=120°，OM平分∠EOF，A是OM上一點，∠BAC=60°，且與OF、OE分別相交于點B、C，則有AB=AC；
（2）如圖2，在如上的（1）中，當∠BAC繞點A逆時針旋轉使得點B落在OF的反向延長線上時，（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由；
（3）如圖3，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°，求證：①△ABC是等邊三角形； ②OC=OA+OB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定

專題：探究型

分析：（1）過A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH=∠BAG，根據(jù)ASA證△BAG≌△CAH，推出AB=AC即可；
（2）證法與（1）類似，過A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH=∠BAG，根據(jù)ASA證△BAG≌△CAH，推出AB=AC即可；
（3）①還原圖形與圖2類似由（2）知AC=AB，∠CAB=60°，根據(jù)等邊三角形的判定推出即可；
②在OC上截取BO=ON，連接NB，得出等邊三角形BON，求出∠ABO=∠CBN，證△AOB≌△CNB，推出NC=OA即可．

解答：（1）證明：過A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，
則∠AHO=∠AGO=90°，
∵∠EOF=120°，
∴∠HAG=60°=∠BAC，
∴∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠BAH，
∴∠BAG=∠CAH，
∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，
∴AG=AH，
在△BAG和△CAH中，
∵

∠AGB=∠AHC AG=AH ∠BAG=∠CAH

，
∴△BAG≌△CAH（ASA），
∴AB=AC；

（2）結論還成立，
證明：過A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，
與（1）證法類似根據(jù)ASA證△BAG≌△CAH（ASA），
則AB=AC；

（3）證明：①如圖，∠FOA=180°-120°=60°，
∠FOC=60°+60°=120°，
即OM平分∠COF，
由（2）知：AC=AB，
∵∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形；
②在OC上截取BO=ON，連接BN，
∵∠COB=60°，
∴△BON是等邊三角形，
∴ON=OB，∠OBN=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°=∠NBO，
∴都減去∠ABN得：∠ABO=∠CBN，
在△AOB和△CNB中
∵

BC=AB ∠CBN=∠OBA BN=OB

，
∴△AOB≌△CNB（SAS），
∴NC=OA，
∴OC=ON+CN=OB+OA，
即OC=OA+OB．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目比較典型，證明過程類似，是一道探究性的題目．