Question

（2013•臨汾二模）操作與證明
把兩個(gè)全等的含45°角的三角板按如圖所示的位置放置，使B、A、D在一條直線上，C、A、E在一條直線上，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD于M，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD；直線CM與EF相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△CEF是等腰直角三角形．
猜想與發(fā)現(xiàn)
（2）在圖1的條件下，CF與BD的數(shù)量關(guān)系為

CF=

1

2

BD

．
（3）如圖2若把圖1中Rt△ADE換為Rt△ABC不全等但相似的三角板時(shí)，其他條件不變，此時(shí)CF與BD的數(shù)量關(guān)系為

CF=

1

2

BD

．
拓展與探究
（4）如圖3若將圖1中的兩塊三角板換成任意兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE），使銳角頂點(diǎn)A重合，點(diǎn)C、A、E在一條直線上，連接BD交AC于G，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BD于M，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，直線CM與EF于點(diǎn)F，圖1中CF與BD的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠F=90°，∠FCE=45°，求出CF=EF，根據(jù)等腰直角三角形的判定推出即可．
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CM=

1

2

AB=

1

2

CF，推出CF=BD，求出AD=AB，即可得出答案．
（3）設(shè)CM=a，EF=CF=x，由勾股定理求出CE=

2

x，AC=

2

a，求出AE=DE=

2

x-

2

a，在Rt△AED中，由勾股定理求出AD=

2

（

2

x-

2

a），即可求出答案．
（4）過(guò)E作EN⊥BD于N，推出FM=EN，求出EN=

1

2

GD，推出△BCG是等腰直角三角形，求出CM=

1

2

BG，即可求出答案．

解答：（1）證明：在△ABC中，AC=BC，CM⊥AB，∠ACB=90°
∴∠CMA=90°，∠ACF=

1

2

∠ACB=45°，
∵BD∥EF，
∴F=∠CMA=90°，
∴∠FEC=45°=∠FCE，
∴CF=EF，
即△CEF是等腰直角三角形；

（2）CF=

1

2

BD，
證明：∵△ACB≌△AED，
∴AD=AB=

1

2

BD，CA=AE，
∵EF∥AB，
∴CM=

1

2

CF，
∵BM=AM，∠ACB=90°，
∴CM=

1

2

AB，
∴AB=CF=

1

2

BD，
故答案為：CF=

1

2

BD；

（3）CF=

1

2

BD，
證明：設(shè)CM=a，EF=CF=x，
則由勾股定理得：CE=

2

x，
∵∠ACB=90°，AM=BM，
∴AB=2CM=2a，AM=CM=a，
由勾股定理得：AC=

2

a，
AE=DE=

2

x-

2

a，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD=

2

（

2

x-

2

a），
∴BD=AB+AD=2a+

2

（

2

x-

2

a）=2x
即CF=

1

2

BD，
故答案為：CF=

1

2

BD；

（4）成立，
證明：過(guò)E作EN⊥BD于N，
則EN∥FM，
∵DB∥EF，
∴EN=FM，
∵△ABC≌△DAE，
∴∠1=∠2，AB=DA，
∴∠ABD=∠4，
∴∠1+∠ABD=∠2+∠4，
∵∠5=∠1+∠ABD，
∴∠5=∠EDG，
∵∠DEA=90°，
∴△GED是等腰直角三角形，
∵EN⊥DG，
∴EN=

1

2

GD，
∵在Rt△BCG中，∠3=∠5=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵CM⊥BG，
∴CM=

1

2

BG，
∴CF=CM+FM=

1

2

BG+EN=

1

2

BG+

1

2

GD=

1

2

BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)的判定的應(yīng)用，題目比較典型，但是難度偏大．