Question

如圖，直線y=3x+3與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AC=AB，雙曲線y=

k

x

經(jīng)過C點(diǎn)
①求雙曲線的解析式；
②點(diǎn)P為第四象限雙曲線上一點(diǎn)，連接BP，點(diǎn)Q（x、y）為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過Q作QD⊥BP，若QD=n，問是否存在一點(diǎn)P使y+n=3？若存在，求直線BP解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：①過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)建全等三角形△ADC≌△BOA；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；最后由待定系數(shù)法求雙曲線的解析式．
②過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．構(gòu)建全等三角形△BQN≌△QBD；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、勾股定理（在直角△BOE中）求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；最后把點(diǎn)B、E的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法來求直線BP的解析式．

解答：解：①過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．
由y=3x+3得，A（-1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3．
∵∠CAD+∠BAO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD=∠AOB．
∵AC=AB，∠CAD=∠AOB=90°，
∴△ADC≌△BOA，
∴CD=OA=1，AD=OB=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C（-4，1），
∴k=xy=（-4）×1=-4，
∴該雙曲線的解析式是y=-

4

x

；

②過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．
∵∠MON=90°，
∴四邊形OMQN是矩形，
∴QM=ON．
∵y+n=3，OM=3，
∴ON+QD=OB，
∵ON+BN=OB，
∴QD=BN．
∵∠QNB=∠BDQ=90°，BQ=QB，
∴△BQN≌△QBD，
∴∠BQN=∠QBD，
∵QN∥OA，
∴∠BQN=∠BAO，
∴∠BAO=∠QBD，
∴AE=DE．
設(shè)OE=x．則BE=AE=x+1．
在直角△BOE中，由勾股定理，得
32+x²=（x+1）²，
解得，x=4，
∴E（4，0）．
設(shè)直線BP的解析式是：y=kx+b（k≠0）
∴

b=3 4k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=3

，
∴y=-

3

4

x+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式．在設(shè)一次函數(shù)解析式時(shí)，不要忘記自變量x的系數(shù)不為零．