如圖1在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx
+c(a>0)的圖象頂點為D,與y軸交于點C,與x軸交于點A、B,點A在原點的左側(cè),點B的坐標(biāo)為(3,0),OB=OC,tan∠ACO=
.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)若平行于x軸的直線與該拋物線交于點M、N,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓的半徑長度;
(3)如圖2,若點G(2,y)是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上的一動點,當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,△AGP的面積最大?求此時點P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積.
解:(1)由OC=OB=3,可知點C的坐標(biāo)是,連接AC,在Rt△AOC中,
∵tan∠ACO=
∴OA=OC×tan∠ACO=,故A
設(shè)這個二次函數(shù)的表達(dá)式為
將C代入得
,解得
,
∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式為
(2)①當(dāng)直線MN在x軸上方時,設(shè)所求圓的半徑為R(R>0),設(shè)M在N的左側(cè),
∵所求圓的圓心在拋物線的對稱軸上,
∴N(R+1,R)代入中得
,解得
②當(dāng)直線MN在x軸下方時,設(shè)所求圓的半徑為,由①可知N
,代入拋物線方程可得
(3)過點P作y軸的平行線與AG交于點Q,
把G(2,y)代入拋物線的解析式得G
由A可得直線AG的方程為
設(shè),則
,
,
當(dāng)時,△APG的面積最大
此時P點的坐標(biāo)為,△APG的面積最大值為
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