Question

【題目】將矩形ABCD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1，點A、C、D的對應點分別為A1、C1、D1．

（1）當點A1落在AC上時：

①如圖1，若∠CAB＝60°，求證：四邊形ABD1C為平行四邊形；

②如圖2，AD1交CB于點O，若∠CAB≠60°，求證：DO＝AO；

（2）如圖3，當A1D1過點C時，若BC＝10，CD＝6，直接寫出A1A的長．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）AA1＝．

【解析】

（1）①首先證明△A1B是等邊三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解決問題．
②首先證明Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），得出CD1＝BA1，則四邊形ABD1C是平行四邊形，推出OC＝OB，再證明△DCO≌△ABO（SAS）即可解決問題．
（2）如圖3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解決問題．

（1）證明：①如圖1中，

∵∠CAB＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等邊三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四邊形ABD1C是平行四邊形．

②如圖2中，連接BD1，BD，DD1．

∵BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，

∴∠BAA1＝∠BDD1，

∵∠BAA1＝∠BDC，

∴∠BDC＝∠BDD1，

∴D，C，D1共線，

∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，

∴Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），

∴CD1＝BA1，

∵BA＝BA1，

∴AB＝CD1，

∵AC＝BD1

∴四邊形ABD1C是平行四邊形，

∴OC＝OB

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．

（2）如圖3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝10．AB＝6，

∴CA1＝＝＝8，

∵△A1BC的面積為＝A1CA1B＝BCA1F，

∴A1F＝，

∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，

∴四邊形A1EBF是矩形，

∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝＝＝，

∴AE＝AB-BE＝6-＝，

在Rt△AA1E中，AA1＝＝＝．