Question

如圖：矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，把△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在OC邊的點(diǎn)D處，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（8，0），（0，10）
（1）直接寫出B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)：B（

8，10

，）   D（

0，6

，）
（2）在線段AE上存在一點(diǎn)P使P到B的距離等于點(diǎn)P到OC的距離，這個相等的距離是

5

，并說明理由．
（3）如圖2：動點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒8個單位長度的速度沿折線OAD按O→A→D的路線運(yùn)動，點(diǎn)N以每秒3個單位長度的速度沿折線ODA按O→D→A的路線運(yùn)動，當(dāng)M，N相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動．設(shè)M、N同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△MON的面積是S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫自變量取值范圍，直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的表示法即可得到B的坐標(biāo)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到AD=AB=10，利用勾股定理求得OD的長，則D的坐標(biāo)可以求得；
（2）易證四邊形PBED是菱形，據(jù)此即可求解；
（3）分M、N分別在OA、OD上和其中一點(diǎn)在AD上以及MN都在AD上三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）B（8，10），
在直角△AOD中，AD=AB=10，則OD=

AD2-OA2

=

102-82

=6，
則D的坐標(biāo)是：（0，6）；
（2）5  理由：由折疊得：PB=PD
則PD即為點(diǎn)P到CO的距離．
∴PD⊥CO 
易證四邊形PBED是菱形．
∴PD=DE=5；
（3）M由O到A的時(shí)間是1秒，N由O到D的時(shí)間是2秒，相遇的時(shí)間是

24

11

秒．
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，M、N分別在OA、OD上，OM=8t，ON=3t，
則s=

1

2

OM•ON=12t²
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，M在AD上，N在OD上，如圖3．
作MF⊥OA，則△ADO∽△AMF，
∴

AF

OA

=

AM

AD

，
即

AF

8

=

8t-8

10

，
解得：AF=

4

5

（8t-8），
則OF=8-

4

5

（8t-8）=-

32

5

t+

72

5

，
S=

1

2

ON•OF=

1

2

×3t×（-

32

5

t+

72

5

）=

108

5

t-

48

5

t²；
③當(dāng)2≤t≤

24

11

時(shí)，M、N都在AD上，則MN=10-（3t-6）-（8t-8）=24-11t，
作OG⊥AD于點(diǎn)G．則OG=

OD•OA

AD

=

24

5

，
s=

288

5

-

132

5

t
故s=

1

2

MN•OG=

1

2

×

24

5

×（24-11t）=

288

5

-

132

5

t．

點(diǎn)評：本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定定理，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．