把兩個(gè)邊長都等于4的等邊三角形拼成菱形ABCD(如下圖).有一個(gè)含60°角的三角尺,使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB,AC重合.
(1)將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F(xiàn)時(shí)(如圖1),通過觀察或測量AE,AF的長度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AECF的周長是否發(fā)生變化?如果沒有變化,請說明理由;如果有變化,請求出周長的最小值;
(3)若將(1)中三角尺的60°角的頂點(diǎn)P在AC上移動(dòng)且與點(diǎn)A、C都不重合,三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖3),那么PE、PF之間又有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.

(1)AE=AF.
證明:在△ABE和△ACF中,
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴AE=AF.

(2)解:周長是變化的.
由△ABE≌△ACF(ASA)得到BE=CF,所以CF+CE=BC,
當(dāng)AE、AF最短時(shí),即AE⊥BC、AF⊥CD,周長最小,
周長最小值為4+;

(3)證明:
過點(diǎn)P作PM⊥BC、PN⊥CD,垂足分別為M、N.
∴∠PME=∠PNF=90°,∵在菱形ABCD中,
CA平分∠BCD,∴PM=PN,
∵∠BCD=120°,∠EPF=60°,
∴∠PEC+∠PFC=360°-(120°+60°)
=180°,
∵∠PFN+∠PFC=180°,
∴∠PEC=∠PFN,
又∵∠PME=∠PNF,PM=PN,∴△PEM≌△PFN,∴PE=PF.
分析:(1)根據(jù)已知得出∠BAE=∠CAF,AB=AC,∠B=∠ACF=60°,即可得出△ABE≌△ACF即可得出答案;
(2)由△ABE≌△ACF(ASA)得到BE=CF,所以CF+CE=BC,當(dāng)AE、AF最短時(shí),即AE⊥BC、AF⊥CD,周長最小;
(3)利用菱形的性質(zhì)得出∠PEC=∠PFN,再利用∠PME=∠PNF,PM=PN,得出△PEM≌△PFN,即可得出答案.
點(diǎn)評:此題主要考查了全等三角形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識,利用已知得出∠PEC=∠PFN,靈活的應(yīng)用全等的判定是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,已知AB=2a,∠A=30°,CD是AB邊的中線,若將△ABC沿CD對折起來,折疊后兩個(gè)小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的
1
4

(Ⅰ)當(dāng)中線CD等于a時(shí),重疊部分的面積等于
 
;
(Ⅱ)有如下結(jié)論(不在“CD等于a”的限制條件下):①AC邊的長可以等于a;②折疊前的△ABC的面積可以等于
3
2
a2
;③折疊后,以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等.其中,
 
結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號都填上,若認(rèn)為都不正確填“無”).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們知道,三條邊都相等的三角形叫等邊三角形.類似地,我們把弧長等于半徑的扇形稱為“等邊扇形”.小明準(zhǔn)備將一根長為120cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段鐵絲圍成一個(gè)“等邊扇形”.
(1)小明想使這兩個(gè)“等邊扇形”的面積之和等于625cm2,他該怎么剪?
(2)這兩個(gè)“等邊扇形”的面積之和能否取得最小值?若能,請求出這個(gè)最小值;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把兩個(gè)邊長都等于4的等邊三角形拼成菱形ABCD(如下圖).有一個(gè)含60°角的三角尺,使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB,AC重合.
(1)將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F(xiàn)時(shí)(如圖1),通過觀察或測量AE,AF的長度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AECF的周長是否發(fā)生變化?如果沒有變化,請說明理由;如果有變化,請求出周長的最小值;
(3)若將(1)中三角尺的60°角的頂點(diǎn)P在AC上移動(dòng)且與點(diǎn)A、C都不重合,三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖3),那么PE、PF之間又有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年江蘇省南京市江寧區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

把兩個(gè)邊長都等于4的等邊三角形拼成菱形ABCD(如下圖).有一個(gè)含60°角的三角尺,使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB,AC重合.
(1)將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F(xiàn)時(shí)(如圖1),通過觀察或測量AE,AF的長度,你能得出什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論;
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形AECF的周長是否發(fā)生變化?如果沒有變化,請說明理由;如果有變化,請求出周長的最小值;
(3)若將(1)中三角尺的60°角的頂點(diǎn)P在AC上移動(dòng)且與點(diǎn)A、C都不重合,三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)(如圖3),那么PE、PF之間又有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案