Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx和雙曲線在第一象限相交于點A（1，2），點B在y軸上，且AB⊥y軸．有一動點P從原點出發(fā)沿y軸以每秒1個單位的速度向y軸的正方向運動，運動時間為t秒（t＞0），過點P作PD⊥y軸，交直線OA于點C，交雙曲線于點D．

（1）求直線y=kx和雙曲線的函數(shù)關系式；
（2）設四邊形CDAB的面積為S，當P在線段OB上運動時（P不與B點重合），求S與t之間的函數(shù)關系式；
（3）在圖中第一象限的雙曲線上是否存在點Q，使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時t的值和Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）把A（1，2）代入y=kx和，得
K=2，k?=2
∴直線y=kx的函數(shù)關系式是y=2x
雙曲線的函數(shù)關系式是，
（2）∵AB=1，OB=2，OP=t
∴PC=，PD=，BP=2-t
∴當CD在AB下方時，CD=PD-PC=-．
∴S=
=（0＜t＜2），
（注：自變量t的取值范圍沒有寫出的不扣分，函數(shù)化簡結果可以用不同
的形式表示，只要結果正確的均不扣分，如：等）
（3）存在3種情形，具體如下：
①當AB=∥CD，且CD在AB下方時（圖2）
CD=PD-PC=-=1，
解得 t₁=-1，t₂=--1（舍去）
∴PD=，OP=t=-1
∴當t=-1時，存在Q（，-1）使以
A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
②當AB=∥CD，且CD在AB上方時（圖2）
CD=PC-PD=-=1，解得 t₁=+1，t₂=-+1（舍去）
∴PD=，OP=t=+1
∴當t=+1時，存在Q（，+1）使以
A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，
③當BQ=∥AC，且CD在AB下方時（見圖3）
此時Q點的坐標仍為（，+1）
過C作CG⊥AB交AB于G，
過Q作QH⊥y軸交y軸于H
顯然，△ACG≌△QBH
∴CG=BH=BP
∴OP=2OB-OH=4-（+1）=3-
∴當t=3-時，存在Q（，+1）使以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）把A的坐標代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，；利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）OP=t，把y=t代入正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，求得C，D的橫坐標，則CD的長即可利用t表示出來，然后利用梯形的面積公式即可寫出函數(shù)的解析式；
（3）分AB=∥CD，且CD在AB下方時；當AB=∥CD，且CD在AB上方時以及BQ=∥AC，且CD在AB下方三種情況進行討論．依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．
點評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定方法的綜合應用，正確理解分情況討論是關鍵．