Question

5．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（1，1），B（1，5），C（3，1），且雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（　　）

• A． 1≤k≤3
• B． 3≤k≤5
• C． 1≤k≤5
• D． 1≤k≤$\frac{49}{8}$

Answer 1

分析 結(jié)合圖形可知當(dāng)雙曲線(xiàn)過(guò)A點(diǎn)時(shí)k有最小值，當(dāng)直線(xiàn)AB與與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)k有最大值，從而可求得k的取值范圍．

解答 解：若雙曲線(xiàn)與△ABC有公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)向下最多到點(diǎn)a，向上最多到與直線(xiàn)AB只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)解析式可得1=$\frac{k}{1}$，解得k=1；
當(dāng)雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)BC只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB解析式為y=ax+b，
∵B（1，5），C（3，1），
∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=5}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+7，
聯(lián)立直線(xiàn)AB和雙曲線(xiàn)解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-2x+7}\end{array}\right.$，消去y整理可得2x²-7x+k=0，
則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0，即（-7）²-8k=0，解得k=$\frac{49}{8}$，
∴k的取值范圍為：1≤k≤$\frac{49}{8}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，確定出雙曲線(xiàn)的兩個(gè)特殊位置時(shí)k的值是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．