Question

（2001•廣州）（1）已知：如圖，過B、C兩點(diǎn)的圓與△ABC的邊AB、AC分別相交于點(diǎn)D和點(diǎn)F，且．求證：S_△ADE：S_{四邊形DBEC}=；
（2）在△ABC的外部取一點(diǎn)P（直線BC上的點(diǎn)除外），分別連接PB、PC，∠BPC與∠BAC的大小關(guān)系怎樣？（不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過相似三角形根據(jù)面積比等于相似比的平方來求解．由于四邊形CEDB是圓的內(nèi)接四邊形，可得出三角形ADE和ACB的兩組對(duì)應(yīng)角相等，得出這兩個(gè)三角形相似后，即可得出面積比為1：4，由此可得出本題所求的結(jié)論．
（2）如果單純的比較∠BPC和∠BAC的度數(shù)比較困難，如果我們做三角形ABC的外接圓后，可根據(jù)點(diǎn)P在三角形外接圓的不同位置來進(jìn)行比較，就容易多了．
解答：（1）證明：∵∠ADE、∠AED是圓內(nèi)接四邊形DBCE的外角；
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B．
∴△ADE∽△ACB；
∴S_△ADE：S_△ACB=DE²：BC²=；
∴S_△ADE：S_{四邊形DBEC}=；

（2）解：作△ABC的外接圓，取點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，作△FBC的外接圓．
①當(dāng)點(diǎn)P取在弓形BAC內(nèi)（△ABC外）或弓形BFC內(nèi)時(shí)，∠BPC＞∠BAC；
②當(dāng)點(diǎn)P取在弧BAC或弧BFC（點(diǎn)A、B、C除外）上時(shí)，∠BPC=∠BAC；
③當(dāng)點(diǎn)P取在弓形BAC與弓形BFC所圍成的圖形外（除直線BC上的點(diǎn)）時(shí)，∠BPC＜∠BAC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．