Question

如圖，在某海域內(nèi)有三個(gè)港口A、D、C．港口C在港口A北偏東60°方向上，港口D在港口A北偏西60°方向上．一艘船以每小時(shí)25海里的速度沿北偏東30°的方向駛離A港口3小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)位置處，測得港口C在B處的南偏東75°方向上，此時(shí)發(fā)現(xiàn)船艙漏水，應(yīng)立即向最近的港口停靠．
（1）試判斷此時(shí)哪個(gè)港口離B處最近，說明理由，并求出最近距離．
（2）若海水以每小時(shí)48噸的速度滲入船內(nèi)，當(dāng)船艙滲入的海水總量超過75噸時(shí)，船將沉入海中．若船上的抽水機(jī)每小時(shí)可將8噸的海水排出船外，問此船在B處至少應(yīng)以怎樣的航行速度駛向最近的港口�？�，才能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒（要求計(jì)算結(jié)果保留根號）？

Answer 1

分析：（1）作輔助線連接AC、AD、BC、BD，過B作BP⊥AC于點(diǎn)P，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，分別求得BA、BC、BD的長，比較得出最近的港口．
（2）根據(jù)題意“（每小時(shí)滲入船內(nèi)的海水總量-每小時(shí)排出的海水總量）×船航行的時(shí)間≤75”列出不等關(guān)系式，然后再解不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）連接AC、AD、BC、BD，過B作BP⊥AC于點(diǎn)P．
由已知得∠BAD=90°，∠BAC=30°，AB=3×25=75（海里），
從而BP=

1

2

×75=37.5（海里）．
∵港口C在B處的南偏東75°方向上，
∴∠CBP=45°．在等腰Rt△CBP中，BC=

2

BP=

75 2

2

（海里），
∴BC＜AB．
∵△BAD是Rt△，
∴BD＞AB．
綜上，可得港口C離B點(diǎn)位置最近，為

75 2

2

海里．

（2）設(shè)由B駛向港口C船的速度為每小時(shí)x海里，
則據(jù)題意有

37.5 2

x

(48-8)≤75，
解不等式，得x≥20

2

（海里）．
答：此船應(yīng)以速度至少不低于每小時(shí)20

2

海里，才能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用即方向角問題，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出示意圖是解這類題的前提和保障．可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，使問題解決．