Question

如圖，直線L₁經(jīng)過原點，與雙曲線y=（x＞0）交于點B（1，2），點M為y正半軸上一點，過M作直線L₂∥x軸交L₁于P，交雙曲線y=（x＞0）于E．
（1）直接寫出直線L₁與雙曲線y=（x＞0）的解析式；
（2）若E為PM中點，求點M坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過P作PN⊥x軸于N，交雙曲線y=（x＞0）于F，判斷點F是否為PN中點？若是求點F坐標(biāo)，若不是，求PF與NF的比值．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線L₁的解析式為y=mx，
把B（1，2）代入y=mx得m=2，
∴直線L₁的解析式為y=2x，
把B（1，2）代入y=得k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；
（2）由點P在直線y=2x上，可設(shè)P點坐標(biāo)為（a，2a），
∵E為PM中點，PM⊥y軸，
∴E點坐標(biāo)為（a，2a），
把E（a，2a）代入y=得a•2a=2，解得a=或a=-（舍去），
∴M點坐標(biāo)為（，0）；
（3）F點為PN的中點．理由如下：
由（2）得P點坐標(biāo)為（，2），
∵PN⊥x軸，
∴PN=2，F(xiàn)點的橫坐標(biāo)為，
把x=代入y=得y==，
∴F點的坐標(biāo)為（，），
∴FN=，
∴PN=2FN，
∴F點為PN的中點．
分析：（1）設(shè)直線L₁的解析式為y=mx，把B（1，2）代入y=mx求出m，則可確定直線L₁的解析式為y=2x；然后把B（1，2）代入y=求出k，從而確定反比例函數(shù)解析式為y=；
（2）先設(shè)P點坐標(biāo)為（a，2a），由于E為PM中點，PM⊥y軸，則E點坐標(biāo)表示為（a，2a），再把E（a，2a）代入反比例函數(shù)解析式求出滿足條件的a的值，于是可得到M點坐標(biāo)為（，0）；
（3）先由（2）得P點坐標(biāo)為（，2），再利用PN⊥x軸，得到PN=2，且F點的橫坐標(biāo)為，然后把x=代入反比例函數(shù)解析式求出對應(yīng)的函數(shù)值，則可確定F點的坐標(biāo)為（，），所以FN=，則PN=2FN，于是可判斷F點為PN的中點．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)滿足其解析式；會運用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式．