【題目】如圖,已知拋物線與y軸交于點C,與x軸交于點A、B,且AB=2,拋物線的對稱軸為直線x=2;
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)如果拋物線的對稱軸上存在一點P,使得△APC周長的值最小,求此時P點坐標及△APC周長;
(3)設D為拋物線上一點,E為對稱軸上一點,若以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點D的坐標.(直接寫出結果)
【答案】(1);(2)P(2,1),;(3)(2,﹣1)、(0,3)、(4,3).
【解析】
試題分析:(1)由AB=2,拋物線的對稱軸為x=2,得知拋物線與x軸交點為(1,0)、(3,0),即1、3為方程的兩個根,結合跟與系數(shù)的關系可求得b、c;
(2)由拋物線的對稱性,可得出PA+PC最短時,P點為線段BC與對稱軸的交點,由此可得出結論;
(3)平行四邊形分兩種情況,一種AB為對角線,由平行四邊形對角線的性質(zhì)可求出D點坐標;另一種,AB為一條邊,根據(jù)對比相等,亦能求出D點的坐標.
試題解析:(1)∵AB=2,對稱軸為直線x=2,∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(3,0),∵拋物線與x軸交于點A,B,∴1,3是方程的兩個根,由根與系數(shù)的關系,得1+3=﹣b,1×3=c,∴b=﹣4,c=3,∴拋物線的函數(shù)表達式為;
(2)連接AC,BC,BC交對稱軸于點P,連接PA,如圖1,由(1)知拋物線的函數(shù)表達式為,點A,B的坐標分別為(1,0),(3,0),∴點C的坐標為(0,3),∴BC==,AC==.∵點A,B關于對稱軸直線x=2對稱,∴PA=PB,∴PA+PC=PB+PC,此時,PB+PC=BC,∴當點P在對稱軸上運動時,PA+PC的最小值等于BC,∴△APC周長的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=;設過B(3,0),C(0,3)的直線為,則:,解得:,∴直線BC為:,聯(lián)立:,得到:,∴P(2,1);
(3)以點A、B、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況,①線段AB為對角線,如圖2,
∵平行四邊對角線互相平分,∴DE在對稱軸上,此時D點為拋物線的頂點,將x=2代入中,得y=﹣1,即點D坐標為(2,﹣1).
②線段AB為邊,如圖3,∵四邊形ABDE為平行四邊形,∴ED=AB=2,設點E坐標為(2,m),則點D坐標為(4,m)或(0,m),∵點D在拋物線上,將x=0和x=4分別代入中,解得m均為3,故點D的坐標為(4,3)或(0,3).
綜合①②得點D的坐標可以為:(2,﹣1)、(0,3)、(4,3).
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