Question

如圖1，已知直線y＝kx與拋物線y＝－x²＋交于點(diǎn)A(3，6)．

(1)求直線y＝kx的解析式和線段OA的長度；

(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M、O不重合)，交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值，如果不是，說明理由；

(3)如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上(與點(diǎn)O、A不重合)，點(diǎn)D(m，0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)把點(diǎn)A(3，6)代入y＝kx得6＝3k；∴k＝2；∴y＝2x．2分 　　OA＝；3分 　　(2)是一個(gè)定值，理由如下： 　　過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H． 　�、佼�(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合， 　　此時(shí)； 　�、诋�(dāng)QH與QM不重合時(shí)，∵QN⊥QM，QG⊥QH 　　不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上 　　∴∠MQH＝∠GQN 　　又∵∠QHM＝∠QGN＝90°∴△QHM∽△QGN；5分 　　∴ 　　當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得＝2；7分 　　(3)延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R 　　∵∠AOD＝∠BAE；∴AF＝OF；∴OC＝AC＝OA＝ 　　∵∠ARO＝∠FCO＝90°；∠AOR＝∠FOC 　　∴△AOR∽△FOC；∴ 　　∴OF＝；∴點(diǎn)F(，0) 　　設(shè)點(diǎn)B(x，)， 　　過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF 　　∴即；解得x1＝6，x2＝3(舍去) 　　∴點(diǎn)B(6，2) 　　∴BK＝6－3＝3；AK＝6－2＝4 　　∴AB＝5；8分 　　(求AB也可采用下面的方法) 　　設(shè)直線AF為y＝kx＋b(k≠0)把點(diǎn)A(3，6)，點(diǎn)F(，0)代入得 　　k＝，b＝10 　　∴ 　　；∴(舍去) 　　∴B(6，2)∴AB＝5；8分 　　(其它方法求出AB的長酌情給分) 　　在△ABE與△OED中 　　∵∠BAE＝∠BED 　　∴∠ABE＋∠AEB＝∠DEO＋∠AEB 　　∴∠ABE＝∠DEO 　　∵∠BAE＝∠EOD 　　∴△ABE∽△OED；9分 　　設(shè)OE＝x，則AE＝－x() 　　由△ABE∽△OED得 　　∴∴()；10分 　　∴頂點(diǎn)為(，) 　　如圖，當(dāng)時(shí)，OE＝x＝，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)． 　　∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)；11分 　　當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)；12分