Question

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；
（3）線段DC上是否存在點(diǎn)P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）C的坐標(biāo)是（4，2），F(xiàn)的坐標(biāo)是（﹣2，4）；
（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，
圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2，
因此D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2），
圖（2），當(dāng)OA=x時(shí)，設(shè)DC交y軸于H，AD交GO于Q，
那么DH=x﹣2，
所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x﹣2，
△AQO中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度為90度，
可得：∠AQD=90°，
又因?yàn)椤螿AM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面積y=S_梯形AODH﹣S_△AQO=2x﹣2﹣x²
即：y=﹣x²+2x﹣2（2＜x＜4）；
（3）由于P點(diǎn)在DC線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2），
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖（1）中，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知：E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，4），
①當(dāng)以E為頂點(diǎn)，EF、EP為腰時(shí)，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2﹣6）²，
即m²+16=8，此方程無解，
因此不存在這種情況；
②當(dāng)以F為頂點(diǎn)，EF、FP為腰時(shí)，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0，
當(dāng)m=﹣4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，2），
PE==4=2EF，
因此P、E、F在一條直線上構(gòu)不成三角形，
因此此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（0，2）；
③當(dāng)以P為頂點(diǎn)，F(xiàn)P、EP為腰，EP=PF，
因此m²+（2﹣6）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m=2，那么此時(shí)P的坐標(biāo)為（2，2），
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)且坐標(biāo)為（2，2）或（0，2）。