Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)一點P，若點P滿足PA=1，PB=2，PC=3．
（1）將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△BCQ，請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，保留必要的作圖痕跡．
（2）試判斷△PCQ屬于哪類特殊三角形，并證明你的結(jié)論．
（3）請求出∠APB的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，連接QC即可得出△BCQ；

（2）連接PQ，
在Rt△PBQ中，
∵BP=BQ=2，
∴PQ²=BP²+BQ²=2²+2²=8，
在△PCQ中，
∵PC=3，QC=AP=1，
∴PC²=PQ²+QC²，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC=90°；

（3）∵BP=BQ=2，∠PBQ=90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
∵由（2）∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°，
∵△BQC由△BPA旋轉(zhuǎn)而成，
∴∠APB=∠BQC=135°．
分析：（1）作∠QBC=∠ABP，BP=BQ=2，連接QC即可得出△BCQ；
（2）連接PQ，由勾股定理求出PQ²的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△PCQ的形狀即可．
（3）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度數(shù)，再根據(jù)（2）中求出的∠PQC=90°即可得出∠BQC的度數(shù)，進而得出結(jié)論．
點評：本題考查的是作圖-旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理的逆定理及正方形的性質(zhì)，熟知圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后所得圖形與原圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．