Question

如圖，甲、乙兩人分別從A(1，)、B(6，0)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達(dá)M點(diǎn)，乙到達(dá)N點(diǎn)．
(1)請(qǐng)說明甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前，MN與AB不可能平行．
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設(shè)s＝MN²，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．

Answer 1

解：(1)∵A坐標(biāo)為(1，)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。
∵甲達(dá)到O點(diǎn)時(shí)間為t＝，乙達(dá)到O點(diǎn)的時(shí)間為t＝，
∴甲先到達(dá)O點(diǎn)，所以t＝或t＝時(shí)，O、M、N三點(diǎn)不能連接成三角形。
①當(dāng)t＜時(shí)，OM＝2－4t，ON＝6－4t，
假設(shè)MN∥AB。則△OMN∽△OAB。
∴，解得t＝0。即在甲到達(dá)O點(diǎn)前，只有當(dāng)t＝0時(shí)，△OMN∽△OAB。
∴MN與AB不可能平行。
②當(dāng)＜t＜時(shí)，
如圖，

∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB
∴MN與AB不平行。
綜上所述，在甲、乙兩人到達(dá)O點(diǎn)前， MN與AB不可能平行。
(2) 由（1）知，當(dāng)t≤時(shí)，△OMN不相似△OBA。
當(dāng)t＞時(shí)，OM＝4t －2，ON＝4t －6，
由解得t＝2＞，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△OMN∽△OBA。
(3)①當(dāng)t≤時(shí)，如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，
∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，
∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。
∴s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28。
②當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖2，作MH⊥x軸，垂足為H，

在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，
NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t²－32t＋28。
③當(dāng)t＞時(shí)，同理可得s＝16t²－32t＋28。
綜上所述，s＝16t²－32t＋28。
∵s＝16t²－32t＋28＝16(t－1)²＋12，
∴當(dāng)t＝1時(shí)，s有最小值為12，
∴甲、乙兩人距離最小值為（km）。

反證法，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值。
(1)用反證法說明．根據(jù)已知條件分別表示相關(guān)線段的長度，根據(jù)三角形相似得比例式說明。
(2)根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間不同分段討論解答。
(3)在不同的時(shí)間段運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解析式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解答問題。