Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2cm，AB＝8cm，CD＝10cm．

(1)求梯形ABCD的周長；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿C→D→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)Q作QF⊥BC于點(diǎn)F．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：

在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

(1) 28cm(2) 當(dāng)t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形

解析:解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E

       ∵四邊形ABCD是直角梯形

       ∴四邊形ABED是矩形

       ∴AD=BE=2，AB=DE=8

       在Rt△DEC中，CE===6

      ∴梯形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=8+8+10+2=28cm.

………3分

（2） ① 當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G

      則AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，

      ∵Rt△CQF∽R(shí)t△CDE

∴CF=，QF=，∴PG==，QG=8－

=（8－t）²+2²=t²－16t+68，

PQ²=QG²+PG²=（8－）²+（）²= 

若DQ=PD，則（10－t）²= t²－16t+68，解得：t=8；…………………5分

若DQ=PQ，則（10－t）²=，       

解得：t₁= ，t₂=＞8（舍去），此時(shí)t=；………6分

②當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10－t，                

      ∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；……………………7分

③當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形；………………………8分

④當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD=DQ= t－10，

      ∴此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；      ………………………9分

綜上所述，當(dāng)t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形.                ………………………10分

（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根據(jù)CE= 求出CE，即可求出BC的長，從而求得梯形ABCD的周長

（2）（i）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，過點(diǎn)Q作QG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QF⊥CB于點(diǎn)F，根據(jù)△CQF∽△CDE得出，所以CF= ，QF= ，所以PG=t=，QG=8-，然后分別用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=+64，若DQ=PD，則（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，則（10-t）²=+64，最后解方程即可；

（ii）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，PD=DQ=10-t，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立；而當(dāng)t=10時(shí)，點(diǎn)P、D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形，當(dāng)10＜t≤12時(shí)，PD=DQ= t－10，此時(shí)以DQ為一腰的等腰△DPQ恒成立，從而得出最后答案；