Question

如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對稱中心，將直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交DC、AB于點(diǎn)E、F．
（1）證明：△DEO≌△BFO；
（2）若DB=2，AD=1，AB=

5

．
①當(dāng)DB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；
②在直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在矩形DEBF，若存在，請求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度（結(jié)果精確到1°）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證三角形全等，必須找到三個(gè)條件證明其全等．
（2）首先要判斷四邊形是什么形狀，然后根據(jù)題意首先證明△OAD是等腰直角三角形，然后證明OE=OF．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDO=∠ABO，∠DEO=∠BFO．
又∵點(diǎn)O是平行四邊形的對稱中心，
∴OD=OB．
∴△DEO≌△BFO．

（2）解：①四邊形AECF是菱形．
理由如下：
在△ABD中，DB=2，AD=1，AB=

5

，
∴DB²+AD²=AB²．
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°
∵OD=OB=

1

2

DB=1，
∴AD=OD=1．
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠AOD=45°．
當(dāng)直線DB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，即∠DOE=45°，
∴∠AOE=90°
∵△DEO≌△BFO，
∴OE=OF
又∵點(diǎn)O是平行四邊形的對稱中心，
∴OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形
∴四邊形AECF是菱形．
②當(dāng)四邊形DEBF是矩形時(shí)，
則有∠DFB=∠FDE=90°，OD=OE
又∵∠ADB=90°
∴有∠ADF=∠ODE=∠DEO
∵S_△ABD=

1

2

AD•BD=

1

2

AB•DF
∴DF=

AD•BD

AB

=

1×2

5

=

2 5

5

在Rt△ADF中，cos∠ADF=

DF

AD

=DF=

2 5

5

∴∠ADF≈26.6°
∴∠ODE=∠DEO=∠ADF=26.6°
∴∠DOE=180°-∠OED-∠ODE=180°-26.6°-26.6°=126.8°≈127°
即當(dāng)直線DB繞點(diǎn)O約順時(shí)針旋轉(zhuǎn)127°時(shí)，四邊形CDBE是矩形．

點(diǎn)評：本題是一道綜合型試題，比較難，證明三角形全等必須要找出三個(gè)條件相等，按照判定四邊形形狀的定義證明該四邊形為何形狀．