如圖,正方形ABCD中,有一直徑為BC的半圓,BC=2cm,現(xiàn)有兩點E、F,分別從點B、點A同時出發(fā),點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動,點F沿折線A——D——C以2cm/s的速度向點C運動,設(shè)點E離開點B的時間為t(s).
(1)當(dāng)t為何值時,線段EF與BC平行;
(2)設(shè)1<t<2,當(dāng)t為何值時,EF與半圓相切;
(3)當(dāng)1≤t<2,設(shè)EF與AC相交于點P,問點E、F運動時,點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求AP∶PC的值.
解:(1)設(shè)E、F出發(fā)后運動了ts時,有EF∥BC(如圖①所示),則有BE=t,CF=4-2t.即有t=4-2t,解得 (2)設(shè)E、F出發(fā)后運動了ts時,EF與半圓相切(如圖②所示).過點F作KF∥BC交AB于K, 則BE=t,CF=4-2t,EK=t-(4-2t)=3t-4, EF=EB+FC=t+(4-2t)=4-t. 又∵ ∴ 整理,得 ∵1<t<2,∴ ∴當(dāng) (3)當(dāng)1≤t<2時,點P的位置不會發(fā)生變化. 證明:設(shè)1≤t<2時,E、F出發(fā)后運動了ts時,EF的位置如圖③所示. 則BE=t,AE=2-t,CF=4-2t. ∴ ∴△AEP∽△CFP.
∴當(dāng)1≤t<2時,點P的位置不會發(fā)生變化,且AP∶PC值為1∶2. |
這是一道幾何與代數(shù),動點與不動點的綜合創(chuàng)新題,難度較大,第(3)題實質(zhì)上就是求AP=PC,若能求出定值,即不發(fā)生變化. |
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