Question

【題目】如圖,已知二次函數(shù) 的圖象過點,一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點.

（1）求值并寫出二次函數(shù)表達式；

（2）求值；

（3）設直線與二次函數(shù)圖象交于兩點,過作垂直軸于點,

試證明:；

（4）在（3）的條件下，請判斷以線段為直徑的圓與軸的位置關系,并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）2；（3）證明見解析；（4）相切

【解析】（1）將點A的坐標代入二次函數(shù)表達式中可求出a值，進而可得出二次函數(shù)表達式；

（2）將點B的坐標代入一次函數(shù)表達式中可求出b值；

（3）過點M作ME⊥y軸于點E，設點M的坐標為（x，x2+1），則MC=x2+1，由勾股定理可求出MB的長度，進而可證出MB=MC；

（4）過點N作ND⊥x軸于D，取MN的中點為P，過點P作PF⊥x軸于點F，過點N作NH⊥MC于點H，交PF于點Q，由（3）的結論可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位線定理可得出PQ=MH，進而可得出PF=MN，由此即可得出以MN為直徑的圓與x軸相切．

（1）∵二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實數(shù)）的圖象過點A（-2，2），

∴2=4a+1，解得：a=，

∴二次函數(shù)表達式為y=x2+1．

（2）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實數(shù)）的圖象l經(jīng)過點B（0，2），

∴2=k×0+b，

∴b=2．

（3）證明：過點M作ME⊥y軸于點E，如圖1所示．

設點M的坐標為（x，x2+1），則MC=x2+1，

∴ME=|x|，EB=|x2+1-2|=|x2-1|，

∴MB= x2+1．

∴MB=MC．

（4）相切，理由如下：

過點N作ND⊥x軸于D，取MN的中點為P，過點P作PF⊥x軸于點F，過點N作NH⊥MC于點H，交PF于點Q，如圖2所示．

由（3）知NB=ND，

∴MN=NB+MB=ND+MC．

∵點P為MN的中點，PQ∥MH，

∴PQ=MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四個角均為直角，

∴四邊形NDCH為矩形，

∴QF=ND，

∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．

∴以MN為直徑的圓與x軸相切．