Question

如圖，菱形ABCD中，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與菱形的頂點(diǎn)重合），且滿足CF=DE，∠A=60°．

（1）寫(xiě)出圖中一對(duì)全等三角形：____________________．

（2）求證：△BEF是等邊三角形；

（3）若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，設(shè)△DEF的周長(zhǎng)為，則的取值范圍為 （直接寫(xiě)出答案）；

（4）連接AC分別與邊BE、BF交于點(diǎn)M、N,且∠CBF＝15º，試說(shuō)明：

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可判斷出AE=DF，DE=CF，從而結(jié)合菱形的性質(zhì)即可得出全等三角形的對(duì)數(shù)，選擇一對(duì)進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，繼而可判定△BEF為正三角形；

（3）由（2）知，DE+DF+EF=AD+BE．因?yàn)锳D=2，則當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最短，所以由三角函數(shù)求出BE，從而得出m的最小值；

（4）如圖，把△BNC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使CB與AB重合，N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′，連接MN′．構(gòu)建全等三角形：△N′BM≌△NBM（SAS），利用該全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合已知條件和圖形得到∠AN′M=135°-45°=90°，所以由勾股定理證得MN2+CN2=AM2．

試題解析：（1）△ABE≌△DBE（或△EBD≌△FBC）

∵ABCD為菱形

∴AB=AD=DC=BC

∵∠A=∠C=60°

∴△ABD與△BDC為等邊三角形

∵DE=FC

∴△EDB≌△FCB

∴EB=FB，∠EBD=∠FBC

∴∠EBF=60°

∴△EBF是等邊三角形

（3）如圖1，由（2）知，△BEF是等邊三角形，則EF=BE=BF．

則m=DE+DF+EF=AD+BE．

當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE最短，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最短

∵在Rt△ABE中，sin60°= ，即 ，

∴BE= ．

∴m=2+ ．

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，△DEF的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，此時(shí)m=2+2=4．

綜上所述，m的取值范圍是：2+ ≤m＜4；

故答案是：2+ ≤m＜4；

（4）把△BNC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，使CB 與AB重合，N對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N ’，連接MN’

∴∠NBC=∠N’BA

∴∠N’BA+∠EBA=60°=∠EBF

∵BN=BN’，BM=BM

∴△N’BM≌△NBM（SAS）

∴MN=MN’，∠MN’B=∠MNB=45°

又∵∠AN’B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°

∴∠AN’M=135°-45°=90°

∴AM2=AN2+MN2=MN2+NC2

考點(diǎn)：1、菱形的性質(zhì)；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、勾股定理．