Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2

3

，0），B（2

3

，2）．把矩形OABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形OA₁B₁C₁，
（1）求B₁點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，0）且平分矩形OA₁B₁C₁面積的直線l方程；
（3）設(shè)（2）中直線l交y軸于點(diǎn)P，直接寫(xiě)出△PC₁O與△PB₁A₁的面積和的值及△POA₁與△PB₁C₁的面積差的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可知∠AOA₁為旋轉(zhuǎn)角，繼而得出∠AOA₁=30°，∠B₁OA=60°．過(guò)點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，Rt△B₁OE中，利用直角三角形的邊與角的關(guān)系即可求得OE和B₁E的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)F為A₁C₁與OB₁的交點(diǎn)即可知道點(diǎn)F的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，把已知點(diǎn)代入即可求出直線l的方程．
（3）根據(jù)（2），直接計(jì)算出各個(gè)面積即可解答．

解答：解：（1）由已知可得：OA=2

3

， AB=2， ∠A=90°，
∴∠BOA=∠B₁OA₁=30°，OB=OB₁=4，
又∵∠AOA₁為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠AOA₁=30°，
∴∠B₁OA=60°，
過(guò)點(diǎn)B₁作B₁E⊥OA于點(diǎn)E，
在Rt△B₁OE中，∠B₁OE=60°，OB₁=4，
∴OE=2，B1E=2

3

．
∴B1(2， 2

3

)．（2分）

（2）設(shè)F為A₁C₁與OB₁的交點(diǎn)，可求得F(1，

3

)，
設(shè)經(jīng)過(guò)P、E的直線是l，
設(shè)直線l的方程為y=kx+b，把點(diǎn)（2，0）、（1，

3

）代入可得：

0=2k+b 3 =k+b

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
∴直線l的方程為y=-

3

x+2

3

．（5分）

（3）2

3

，2

3

．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題難度屬中上，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式以及圖形的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．