Question

如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D．給出以下五個(gè)結(jié)論：
①BD=DC；②CB=2ED；③；④∠A=∠EDC；⑤△ABC∽△DCE．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．

Answer 1

①②④⑤
分析：連接AD，BE，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD與BC垂直，BE與AE垂直，由AB=AC，利用三線合一得到D為BC的中點(diǎn)，可得出BD=CD，在直角三角形BEC中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出BC=2ED，而當(dāng)∠EAD=∠EDA時(shí)，=，此時(shí)△ABC為等邊三角形，當(dāng)△ABC不是等邊三角形時(shí)，∠EAD≠∠EDA，則≠，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得到∠A=∠EDC，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ABC∽△DCE．
解答：解：連接AD，BE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴D為BC的中點(diǎn)，即BD=CD，
故選項(xiàng)①正確；
在Rt△BEC中，D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴BC=2ED，故選項(xiàng)②正確；
當(dāng)∠EAD=∠EDA時(shí)，=，此時(shí)△ABC為等邊三角形，
當(dāng)△ABC不是等邊三角形時(shí)，∠EAD≠∠EDA，則≠，
故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
∵∠EDC為圓內(nèi)接四邊形ABDE的外角，
∴∠EDC=∠BAC，故選項(xiàng)④正確；
∵∠EDC=∠BAC，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，故選項(xiàng)⑤正確，
綜上，正確選項(xiàng)為①②④⑤．
故答案為：①②④⑤
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．