Question

問題情境：
如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是射線BC上的一個動點，連結(jié)AE并延長，交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B坐在點B′處．
自主探究：
（1）當=1時，如圖1，延長AB′，交CD于點M．
     ①CF的長為______；
     ②求證：AM=FM．
（2）當點B′恰好落在對角線AC上時，如圖2，此時CF的長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出FC=AB即可得出答案；
②利用翻折變換的性質(zhì)得出∠BAF=∠MAF，進而得出AM=FM；
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠BAE=∠MAF，進而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；
（3）根據(jù)①如圖1，當點E在線段BC上時，延長AB′交DC邊于點M，②如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交B′E于點N，分別利用勾股定理求出即可．
解答：解：（1）①當=1時，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴==1，
∴FC=AB=6，

②證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴∠BAF=∠AFC，
∵△ABE沿直線AE翻折得到△AB′E，
∴∠BAF=∠MAF，
∴∠MAF=∠AFC，
∴AM=FM；

（2）如圖2，
∵當點B′恰好落在對角線AC上時，
∴∠1=∠2，
∵AB∥FC，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AC=FC，
∵AB=BC=6，
∴AC=FC=6，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴===，

（3）①如圖1，當點E在線段BC上時，延長AB′交DC邊于點M，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴==2，
∵AB=6，
∴CF=3，
∴DF=CD+CF=9，
由（1）知：AM=FM，
∴AM=FM=9-DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′=（9-DM）²-6²，
解得：DM=，則MA=，
∴sin∠DAB′==，
②如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交B′E于點N，
由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，
∴NA=NE=12-B′N，
在Rt△AB′N中，由勾股定理得：B′N²=（12-B′N）²-6²，
解得：B′N=，
AN=，
∴sin∠DAB′==．
故答案為：6；6，．
點評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，熟練利用相關性質(zhì)和進行分類討論得出是解題關鍵．