Question

【題目】在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，點B′與點B關(guān)于AE對稱，B′B與AE交于點F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′=AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠ADB′=75°；④∠CB′D=135°．其中正確的是( )

A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：

（1）由軸對稱的性質(zhì)易得AB′=AB，結(jié)合AB=AD即可得到AB′=AD；

（2）連接B′E，易得BE=B′E=CE，由此易得∠BB′C=90°，由EF是△BB′C的中位線可得B′C=2EF，再證△B′EF∽△AB′F，可得，由此可得FB′=2FE，從而可得B′C=FB′，由此可得△FCB′為等腰直角三角形；

（3）假設(shè)∠ADB′=75°成立，則可得∠AB′D=75°，由此可得∠ABB′=∠AB′B=60°，從而可得B′B=AB=BC，這與Rt△BB′C中B′B＜BC矛盾，由此可得假設(shè)錯誤；

（4）由題意易得∠AB′D=∠ADB′，∠AB′B=∠ABB′，結(jié)合∠BAD=90°和四邊形內(nèi)角和為360°易得∠DB′B=135°，這樣結(jié)合∠BB′C=90°可得∠DB′C=135°；

綜上即可得到題中4個結(jié)論里正確的結(jié)論是①②④.

詳解：

①∵點B′與點B關(guān)于AE對稱，

∴△ABF與△AB′F關(guān)于AE對稱，

∴AB=AB′，

∵AB=AD，

∴AB′=AD．故本選項正確；

②如圖，連接EB′．

由題意可得：BE=B′E=EC，

∴∠FBE=∠FB′E，∠EB′C=∠ECB′，

∴∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，

∴△BB′C為直角三角形．

∵FE為△BCB′的中位線，

∴B′C=2FE，

∵△B′EF∽△AB′F，

∴，即，

∴FB′=2FE，

∴B′C=FB′，

∴△FCB′為等腰直角三角形．

故本選項正確．

③假設(shè)∠ADB′=75°成立，

則∠AB′D=75°，

∴∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，

∴△ABB′為等邊三角形，

∴B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾，

故本選項錯誤．

④設(shè)∠ABB′=∠AB′B=x度，∠AB′D=∠ADB′=y度，

則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90=360，

∴x+y=135度．

又∵∠FB′C=90°，

∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．

故本選項正確．

故選B．