Question

（2012•河北區(qū)一模）如圖，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），O為原點，點C為x軸正半軸上一動點，M為線段BC中點．
（Ⅰ）設C（x，0），S_△AOM=y，求y與x的關系式，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）如果以線段AO為直徑的⊙D與以BC為直徑的⊙M外切，求x的值．
（Ⅲ）連BO，交線段AM于N，如果以A，N，B為頂點的三角形與△OMC相似，請寫出直線CN的解析式（不要過程）．

Answer 1

分析：（1）根據梯形中位線定理可得DM的長，再根據三角形面積公式即可得到y(tǒng)與x的關系式；
（2）連CF，根據勾股定理，相切兩圓之間的關系、兩點之間的距離公式可得方程組

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

，解方程求解即可；
（3）如果三角形ABN和三角形OMC相似，一定不相等的角是∠ABN和∠MOC，∠BAN和∠MCO，因為AB∥OC，如果兩角相等，那么M與B重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進行討論：
①當∠ABN=∠OMC時，那么∠ANB=∠OCM，可得出關于BC，OC，CM的比例關系式，即可求出OC的值．
②當∠ABN=∠OCM時，∠ANB=∠OMC，可根據這兩個角的正切值求出OC的值，再根據相似三角形的性質可求N點的坐標，根據待定系數法得到直線CN的解析式．

解答：解：（Ⅰ）取OA中點D，連DM，
則 DM=

1

2

(AB+OC)=

1

2

(4+x)=2+

x

2

，
y=S△AOM=

1

2

OA•DM=

1

2

x+2．
∴y=

1

2

x+2（x＞0）．…（4分）

（Ⅱ）⊙D與⊙M外切，⊙M與AB交于F，
連CF，則∠BFC=90°，OC=AF=x，BF=4-x，CF=2，
設⊙M的半徑為r，則

(2r)2=(4-x)2+22 DM=1+r= x+4 2

解得 x=

4

3

．  

（Ⅲ）y=3x-6或y=-

3

10

x+

12

5

．

點評：考查了相似形綜合題，本題關鍵是掌握梯形中位線定理，三角形面積公式，勾股定理，相切兩圓之間的關系、兩點之間的距離公式，解二元一次方程組，相似三角形的性質，綜合性較強，有一定的難度．