Question

如圖，已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，半徑為1的⊙B經(jīng)過點(diǎn)O，且與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3

，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點(diǎn)D．
（1）求OC的長和∠CAO的度數(shù)；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）求點(diǎn)A，O，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（4）在（3）中，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使得△AOP的面積與△AOC的面積相等．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓B的半徑可以求出AC的長，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可以求出OA的長，在Rt△AOC中由勾股定理可以求出OC的長，利用解直角三角形的特殊角的三角函數(shù)值就可以求出∠CAO的度數(shù)．
（2）連接OB，過點(diǎn)D作DE⊥AO于E，利用（1）的結(jié)論可以求出∠DOE=60°，∠ODE=30°，由勾股定理可以求出OE、DE的長從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)拋物線的解析式為兩根式的形式，運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（4）當(dāng)存在點(diǎn)P時(shí)，根據(jù)底相等面積相等的兩三角形高相等就可以求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠COA=90°，
∴AC為直徑．
∵⊙B的半徑為1，
∴AC=2
∵A（-

3

，0）
∴OA=

3

∴cos∠CAO=

3

2

∴∠CAO=30°
∴OC=

1

2

AC
∴OC=1

（2）連接OB，作DE⊥AO于E，
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切線
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理，得
DO=

3

∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=

1

2

OD=

3

2

，在Rt△ODE中，由勾股定理，得
DE=

3

2

∴D（

3

2

，

3

2

）

（3）∵OC=1
∴C（0，1）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+

3

）（x-0），由題意，得

3

2

=a（

3

2

+

3

）

3

2

，解得
a=

2

3

∴y=

2

3

（x+

3

）x
y=

2

3

x²+

2 3

3

x

（4）設(shè)存在點(diǎn)P，使△AOP的面積與△AOC的面積相等，做PF⊥OA于F
∴這兩個(gè)三角形OA邊上的高也相等，即PF=OC=1
∴當(dāng)y=1時(shí)，
1=

2

3

x²+

2 3

3

x
解得：x₁=

- 3 +3

2

，x₂=

- 3 -3

2

∴P（

- 3 +3

2

，1）或（

- 3 -3

2

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值、圓的切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的存在問題．