Question

如圖，直線y=-

4

3

x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N．
（1）求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)P為圓心，

12

5

為半徑的圓與直線y=-

4

3

x+4相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：第一問簡單，已知直線解析式，易求M，N點(diǎn)坐標(biāo)；
由題意知點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，說的很模糊，所以要分類討論，再根據(jù)圓的性質(zhì)及相切的條件，又知道圓的半徑，從而求出每種情況的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，
當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+4=0∴x=3．
∴M（3，0），N（0，4）．

（2）①當(dāng)P₁點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方時(shí)，設(shè)⊙P₁與直線y=-

4

3

x+4相切于點(diǎn)A，
連接P₁A，則P₁A⊥MN，∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，∴

P1A

MO

=

P1N

MN

在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5．
又∵P1A=

12

5

，∴P₁N=4，
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）；
②當(dāng)P₂點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，同理可得P₂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）；
③當(dāng)P₃點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)⊙P₃與直線y=-

4

3

x+4上切于點(diǎn)B，連接P₃B．
則P₃B⊥MN，∴OA∥P₃B．
∵OA=P₃B，∴P₃M=OM=3，∴OP₃=6．
∴P₃點(diǎn)坐標(biāo)是（6，0）；
④當(dāng)P₄點(diǎn)在y軸上，并且在點(diǎn)N上方時(shí)，同理可得P₄N=ON=4．
∴OP₄=8，∴P₄點(diǎn)坐標(biāo)是（0，8）；
綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），（6，0），（0，8）．

點(diǎn)評：此題考查一次函數(shù)的基本性質(zhì)及圓的性質(zhì)，把直線與圓連接起來，不免有相切的關(guān)系，還考查相似三角形的性質(zhì)及分類討論的思想．