Question

（2003•河南）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于點C、D，O₁O₂⊥AB，垂足為F，過B作⊙O₂的切線BE，切點為E，連接EC、DE，若BE=DE，∠BED=30°，AC、CE的長是方程x²-10x+16=0的兩個根（AC＜CE）．
（1）求證：BC=EC；
（2）求⊙O₂的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線切角等于它所夾弧所對的圓周角，得到∠BCE=∠BED，再根據(jù)BE=DE，∠BED=30°，得到∠CEB=75°，∠BEC=75°，即可得BC=EC；
（2）先由AC、CE的長是方程x²-10x+16=0的兩個根（AC＜CE），求出AC、CE的長，再由O₁O₂⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AF=BF，CE=DE，從而可得BD=AC，根據(jù)切割線定理求出DE的長，由于BE是圓的切線且∠BED=30°，判斷出△DEO₂為正三角形，進而求出⊙O₂的半徑．
解答：（1）證明：∵∠BED=30°，BE=DE，
∴∠BDE=∠EBD=75°．
∵BE是⊙O₂的切線，
∴∠BCE=∠BED=30°．
∴在△BCE中
∠CEB=180°-30°-75°=75°，
∴∠CEB=∠BEC．
∴BC=EC．（3分）

（2）解：∵AC、CE的長是方程x²-10x+16=0的兩個根且AC＜CE，
∴x₁=2=AC，x₂=8=CE，（4分）
∵O₁O₂⊥AB于F，AB是⊙O₁的弦，
∴AF=BF；
∵CD是⊙O₂的弦，
∴CF=DF，
∴BD=AC=2；                                                            （5分）
∵BC=CE，
∴BC=CE=8，
∵BE是⊙O₂的切線，
∴BE²=BD•BC=8×2=16，
∴BE=4，DE=4；                                                               （6分）
連接O₂E、O₂D，則BE⊥O₂E，
∵∠BED=30°，
∴∠DEO₂=60°，
∵O₂D=O₂E，
∴△DEO₂為正三角形，
∴O₂E=DE=4．                                                                 （8分）
點評：此題將兩圓相交的條件以及和兩圓相關(guān)的線段和角巧妙地結(jié)合起來，使之成為一個有機的整體，要充分利用它們之間的關(guān)系．