Question

（1）已知菱形ABCD的邊長為6，∠A=60°，如果點P是菱形內(nèi)一點，且PB=PD=2

3

，那么AP的長為

 

．
（2）對于任意實數(shù)x，二次三項式x²+3mx+m²-m+

1

4

是一個完全平方式，則m=

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),完全平方式

專題：

分析：（1）根據(jù)題意得，應(yīng)分P與A在BD的同側(cè)與異側(cè)兩種情況進行討論；
（2）根據(jù)完全平方公式的定義，a²±2ab+b²=（a±b）²，解出即可；

解答：解：（1）當P與A在BD的異側(cè)時：連接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3

3

，BM=AB•sin30°=3，
∴PM=

3

，
∴AP=AM+PM=4

3

；
當P與A在BD的同側(cè)時：連接AP并延長AP交BD于點M
AP=AM-PM=2

3

；
當P與M重合時，PD=PB=3，與PB=PD=2

3

矛盾，舍去．
AP的長為4

3

或2

3

．
故答案為：4

3

或2

3

．

（2）二次三項式x²+3mx+m²-m+

1

4

是一個完全平方式，
∴x²+3mx+m²-m+

1

4

=（x+

3m

2

）²-

5

4

m²-m+

1

4

，
∴-

5

4

m²-m+

1

4

=0，
解得：m=-1或5．
故答案為：-1或5．

點評：本題考查了完全平方公式以及菱形的性質(zhì)，注意分兩種情況討論，并且注意兩種情況都存在關(guān)系A(chǔ)P⊥BD，這是解決本題的關(guān)鍵．