Question

已知二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)（1，0），（-3，0），（0，-）．
（Ⅰ）求二次函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函數(shù)，當(dāng)x取a，b（a≠b）時(shí)函數(shù)值相等，求x取a+b時(shí)的函數(shù)值；
（Ⅲ）若反比例函數(shù)y₂=（k＞0，x＞0）的圖象與（Ⅰ）中的二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x滿(mǎn)足2＜x＜3，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可．
（Ⅱ）首先將x=a、b代入拋物線(xiàn)的解析式中，聯(lián)立所得的兩個(gè)方程即可求出a+b的值；再將x=a+b代入（Ⅰ）的拋物線(xiàn)解析式中即可求出此時(shí)的函數(shù)值．
（Ⅲ）首先大致畫(huà)出y₁、y₂的函數(shù)圖象，大致判斷出2＜x＜3中，兩函數(shù)的增減性；然后根據(jù)x=2或3時(shí)，兩函數(shù)值的大小關(guān)系列出不等式組，由此求得k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-1）（x+3）
將（0，-）代入，解得a=．
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x²+x-．

（Ⅱ）當(dāng)x=a時(shí)，y₁=a²+a-，當(dāng)x=b時(shí)，y₁=b²+b-，
∴a²+a-=b²+b-，
∴a²-b²+2（a-b）=0，即（a-b）（a+b+2）=0，
∵a≠b，∴a+b=-2．
∴y₁=（a+b）²+（a+b）-=（-2）²-2-=-
即x取a+b時(shí)的函數(shù)值為．

（Ⅲ）當(dāng)2＜x＜3時(shí)，函數(shù)y₁=x²+x-，y₁隨著x增大而增大，對(duì)y₂=（k＞0），y₂隨著X的增大而減�。�
∵A（x，y）為二次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=2時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得y₂＞y₁，
即＞×2²+2-，解得k＞5．
當(dāng)x=3時(shí)，二次函數(shù)數(shù)圖象在反比例上方得y₁＞y₂，
即×3²+3-＞，解得k＜18．
所以k的取值范圍為5＜k＜18．
點(diǎn)評(píng)：該題主要考查的是函數(shù)解析式的確定以及不等式的應(yīng)用．最后一題中，通過(guò)圖示找出與題相關(guān)的不等式是突破題目的關(guān)鍵，因此在平常的解題過(guò)程中，要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．