Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-

9

4

，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)（位于點(diǎn)A的右側(cè)），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）線段BC上是否存在點(diǎn)D，使△BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到∠ACB的度數(shù)．
（2）利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線求出拋物線的解析式．
（3）分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò) 點(diǎn)C，
∴∠ACB=90°．

（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•OB，
∵A（-

9

4

，0），點(diǎn)C（0，3），
∴AO=

9

4

，OC=3，
又∵CO²=AO•OB，
∴32=

9

4

OB，
∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入得y=-

1

3

x2+

7

12

x+3．

（3）①OD=DB，如圖：
D在OB 的中垂線上，過(guò)D作DH⊥OB，垂足是H，則H是OB中點(diǎn)．
Ⅴ
DH=

1

2

OC，OH=

1

2

OB，
∴D(2，

3

2

)，

②BD=BO，如圖：
過(guò)D作DG⊥OB，垂足是G，
∴

BG

OB

=

BD

CB

=

DG

OC

，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴

CD

CB

=

1

5

，
∴

BG

4

=

4

5

=

DG

3

，
∴BG=

16

5

，DG=

12

5

，
∴OG=BO-BG=

4

5

，
∴D（

4

5

，

12

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）根據(jù)圓周角的性質(zhì)求出角的度數(shù)．（2）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．