如圖，已知CD為⊙O的直徑，點A為DC延長線上一點，B為⊙O上一點，且∠ABC=∠D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若tanD=
1
2
，求sinA的值．
（1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∵∠ABC=∠D，
∴∠ABC=∠OBD，
∴∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB為⊙O的切線；

（2）設(shè)BC=x，
在Rt△BCD中，tanD=
BC
BD
=
1
2
，
∴BD=2x，
∴CD=
BD2+BC2
=
5
x，
∴OB=OC=
5
2
x，
∵∠ABC=∠D，∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴
AC
AB
=
BC
BD
=
1
2
，
∴AB=2AC，
在Rt△OAB中，∵OB2+AB2=AO2，
∴（
5
2
x）2+（2AC）2=（
5
2
x+AC）2，
∴AC=
5
3
x，
∴OA=
5
2
x+
5
3
x=
5
5
6
x，
∴sinA=
OB
OA
=
5
x
2
5
5
x
6
=
3
5
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知圓O的半徑為5，AB是圓O的直徑，D是AB延長線上一點，DC是圓O的切線，C是切點，連接AC，若∠CAB=30°，則BD的長為______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，⊙O與AB切于點C，∠BCE=60°，DC=6，DE=4，則S△CDE為（　�。�
A．6
5
B．6
3
C．6
2
D．6

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動點，以點O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C，連接BC，作CD⊥BC，交AY于點D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點，AP=4，且sinA=
3
5
，
①如圖2，當點D與點P重合時，求R的值；
②當點D與點P不重合時，試求PD的長（用R表示）．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知：AB是⊙O的直徑，BC、CD分別是⊙O的切線，切點分別為B、D，E是BA和CD的延長線的交點．
（1）猜想AD與OC的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）設(shè)AD•OC的積為S，⊙O的半徑為r，試探究S與r的關(guān)系；
（3）當r=2，sin∠E=
1
3
時，求AD和OC的值．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，P是⊙O外一點，PA是⊙O的切線，A是切點，B是⊙O上一點，且PA=PB，連接BO并延長與切線PA相交于點Q．求證：
（1）PB是⊙O的切線；
（2）AQ•PQ=OQ•BQ．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，矩形紙片ABCD，點E是AB上一點，且BE：EA=5：3，EC=15
5
，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點B恰好落在AD邊上，設(shè)這個點為F，若⊙O內(nèi)切于以F、E、B、C為頂點的四邊形，則⊙O的面積=______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（初三）如圖，△ABC中，AB=AC，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點D，過點I作BC的平行線分別交AB、AC于E、F，若O是△DEF外接圓的圓心．
證明：（1）O點在線段AD上；
（2）AB、AC是⊙O的切線．
（初二）如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，DA=DC，求證，BD2=AB2+BC2．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過AB的中點C，且分別交OA、OB于點E、F．
求證：AB是⊙O的切線．

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