Question

Rt△ABC中，∠A=90⁰，BC=4,有一個內角為60⁰，點P是直線AB上不同于A、B的一點，且∠ACP=30⁰，則PB的長為       ．

Answer 1

4或或。

分兩種情況考慮：
當∠ABC=60°時，如圖所示：

∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°。
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°。
又∵∠ABC=60°，∴△PCB為等邊三角形。
又∵BC=4，∴PB=4。
當∠ABC=30°時，
（i）當P在A的右邊時，如圖所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°。
又∠B=30°，BC=4，
∴，即 。
（ii）當P在A的左邊時，如圖所示：

∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°。
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B。∴CP=BP。
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2。
根據(jù)勾股定理得：，
∴AP=AB－PB=－PB。
在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理得：AC²＋AP²=CP²=BP²，即2²+（－PB）²=BP²，
解得：BP=。
綜上所述，BP的長為4或或。