Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，x與軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，然后解方程組即可．
（2）首先由（1）的拋物線解析式確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，此時(shí)可以看出CD平行于x軸，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸上，將點(diǎn)C向下平移CD長(zhǎng)個(gè)單位就能求出這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）利用待定系數(shù)法先求出直線BC的解析式，然后過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)Q，用未知數(shù)設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，即可得到線段PQ的長(zhǎng)度表達(dá)式，以PQ為底、OB為高，即可得到△PBC的面積函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，有：

a-b-4a=0 -4a=4

，解得

a=-1 b=3

∴拋物線的解析式：y=-x²+3x+4．

（2）將點(diǎn)D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，得：
-m²+3m+4=m+1，化簡(jiǎn)，得：m²-2m-3=0
解得：m₁=-1（舍），m₂=3；
∴D（3，4），因此CD∥x軸；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：
∠OCB=∠DCB=45°；
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E在y軸上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，則：
點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=-x+4；
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，設(shè)P（x，-x²+3x+4），則Q（x，-x+4）；
∴PQ=（-x²+3x+4）-（-x+4）=-x²+4x；
S_△PCB=

1

2

PQ•OB=

1

2

×（-x²+4x）×4=-2（x-2）²+8；
所以，當(dāng)P（2，6）時(shí)，△PCB的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的內(nèi)容在二次函數(shù)綜合題中較為常見(jiàn)，主要涉及了：二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、三角形面積的解法、二次函數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；（2）題中，判斷出CD與x軸平行以及△OBC的特殊形狀是突破題目的關(guān)鍵．