Question

（1）四個(gè)有理數(shù)a、b、c、d滿足

|abcd|

abcd

=-1，則

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

的最大值為

2

．
（2）符號(hào)“f”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：
①f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…
②f(

1

2

)=2，f(

1

3

)=3，f(

1

4

)=4，f(

1

5

)=5，…
利用以上規(guī)律計(jì)算：f(

1

2008

)-f(2008)=

1

．
（3）代數(shù)式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|的最小值為

8

．

Answer 1

分析：（1）由已知的等式得到abcd為負(fù)值，由兩數(shù)相乘積的去符號(hào)法則得到a、b、c、d中有一個(gè)為負(fù)數(shù)或三個(gè)為負(fù)數(shù)，若四個(gè)字母中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，利用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)、正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身進(jìn)行化簡，求出所求式子的值；若有三個(gè)為負(fù)數(shù)，同理化簡求出所求式子的值，比較即可得到所求式子的最大值；
（2）由已知的兩列等式得到規(guī)律：f（n）=n-1，f（

1

n

）=n，且n為正整數(shù)，取n=2008，分別代入相應(yīng)的運(yùn)算中計(jì)算，即可得到所求式子的值；
（3）分x≤-3；-3＜x≤-2；-2＜x＜1；1≤x≤2；x≥2五個(gè)范圍，判斷絕對(duì)值中代數(shù)式的正負(fù)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，分別求出所求式子的值，比較即可得到所求式子的最小值．

解答：解：（1）依題意

|abcd|

abcd

=-1，得到|abcd|=-abcd，
∴abcd＜0，即a、b、c、d中有一個(gè)為負(fù)或三個(gè)為負(fù)，
（i）當(dāng)有一個(gè)為負(fù)，假設(shè)a＜0時(shí)，則有|a|=-a，
此時(shí)

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-1+1+1+1=2，
若b＜0或c＜0或d＜0時(shí)，同理得到

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=2；
（ii）當(dāng)有三個(gè)為負(fù)時(shí)，假設(shè)a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，d＞0，
則有|a|=-a，|b|=-b，|c|=-c，|d|=d，
此時(shí)

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-1-1-1+1=-2，
若b＜0，c＜0，d＜0或a＜0，b＜0，d＜0時(shí)，同理得到

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

+

d

|d|

=-2．
綜上所述，原式的最大值是2；

（2）根據(jù)上述等式得到f（n）=n-1，f（

1

n

）=n，（n為正整數(shù)），
則f（

1

2008

）-f（2008）=2008-2007=1；

（3）當(dāng)x≤-3，原式=-x-2-x+2-x-3-x+1=-4x-2；最小值=-4×（-3）-2=10；
當(dāng)-3＜x≤-2，原式=-x-2-x+2+x+3-x+1=-2x+4；最小值=-2×（-2）+4=8；
當(dāng)-2＜x＜1，原式=x+2-x+2+x+3-x+1=8；
當(dāng)1≤x≤2，原式=x+2-x+2+x+3+x-1=2x+6；最小值=8；
當(dāng)x≥2，原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2，最小值=10．
綜上，代數(shù)式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-1|的最小值為8．
故答案為：（1）2；（2）1；（3）8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義，利用了分類討論的思想，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．