Question

如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥CD，AD=BC，翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF．連接CE、CF、BD，AC、BD 的交點(diǎn)為點(diǎn)O，AC、EF的交點(diǎn)為點(diǎn)G．如果CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列結(jié)論中，正確的序號是

①②⑤

．
①EF⊥AC； ②BD∥EF；③連接FO，則FO∥AB；④S_{四邊形AECF}=AC•EF；⑤EF=

25 2

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，等腰梯形的特點(diǎn)和對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線積的一半的知識(shí)來判斷．

解答：解：①∵翻折紙片ABCD，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，
∴EF⊥AC，故此選項(xiàng)正確；
②∵CE⊥AB，翻折紙片ABCD，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，
∴∠AEF=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠CAB=45°，
易證△ADB≌△BCA（SAS），
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠AEF=45°，
∴BD∥EF，故此選項(xiàng)正確；
④∵AC⊥EF，
∴S_{四邊形AECF}=

1

2

×AC•EF，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤易得BE=（7-3）÷2=2，CE=AE=7-2=5，
作FM⊥AB于點(diǎn)M，則CE：BE=FM：AM，
∵∠AEF=45°，
∴設(shè)FM=ME=x，
∴AM=5-x，
∴

5

2

=

x

5-x

，
解得：x=

25

7

，
∴EF=

2

FM=

25 2

7

，故此選項(xiàng)正確；
③∵∠OAB=∠OBA=∠GEA=45°，∠AGE=∠AOB=90°，AB=7，AE=5，
∴AO=

7 2

2

，AG=

5 2

2

，
∴OG=OA-AG=

2

，F(xiàn)G=EF-GE=EF-AG=

25 2

7

-

5 2

2

=

15 2

14

，
∴OG≠FG，
∴∠FOG≠45°=∠EAG，
∴FO與AB不平行，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
正確的序號是①②⑤．
故答案①②⑤．

點(diǎn)評：此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，注意使用等腰梯形中的三角形全等，以及常用的輔助線方法，對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線積的一半等知識(shí)．