Question

如圖，OA、OC是⊙O的半徑，OA=1，且OC⊥OA，點D在弧AC上，弧AD=2弧CD，在OC求一點P，使PA+PD最小，并求這個最小值．

Answer 1

分析：延長AO交⊙O于B，連接BD交OC于點P，則點P為所求．先找到點A的對稱點，連接BD與OC的交點就是所求的點P．由于OA⊥OC，AB是直徑，所以OC是AB的垂直平分線，故有PA=PB，那么求PA+PD就是求BD的長，在Rt△ABD中，利用三角函數值可求BD，即PA+PD的值．

解答：解：延長AO交⊙O于B，連接BD交OC于點P，
則點P為所求，（2分）
連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，（3分）
∵OC⊥OA，弧AD=2弧CD，
∴∠ABD=30°，（5分）
∵OA=1，
∴AB=2，
∴BD=cos30°×AB=

3

，（6分）
即PA+PD最小值為

3

．

點評：本題利用了直徑所對的圓周角等于90°、同圓中同弧所對的圓周角等于圓心角的一半、三角函數值．