Question

（2013•河北一模）平面上有且只有4個(gè)點(diǎn)，這4個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)：連接每?jī)牲c(diǎn)可得到6條線段，這6條線段有且只有兩種長(zhǎng)度．我們把這四個(gè)點(diǎn)稱作準(zhǔn)等距點(diǎn)．例如正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)（如圖1），有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其實(shí)滿足這樣性質(zhì)的圖形有很多，如圖2中A、B、C、O四個(gè)點(diǎn)，滿足AB=BC=CA，OA=OB=OC．
（1）如圖3，若等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是準(zhǔn)等距點(diǎn)，且AD∥BC．寫出相等的線段（不再添加字母）；
（2）利用（1）的結(jié)論，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是準(zhǔn)等距點(diǎn)，且AD∥BC，即可求得答案；
（2）由（1）易證得△ABC≌△DCB，繼而可得∠BDC=∠BCD=2∠ACB，然后設(shè)∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，可得在△BDC中，2x+2x+x=180，繼而可求得答案．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是準(zhǔn)等距點(diǎn)，且AD∥BC，
∴AB=DC=AD，AC=BD=BC；

（2）∵等腰梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是準(zhǔn)等距點(diǎn)，
∴AC=BD，AB=DC，
在△ABC和△DCB中，

AC=BD AB=DC BC=CB

，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠DBC=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵DC=AD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=2∠ACB，
設(shè)∠ACB=x°，則∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，
∴在△BDC中，2x+2x+x=180，
解得x=36，
∴∠BCD=72°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了的等腰梯形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．