Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG．
（1）求證：①DE=DG； ②DE⊥DG
（2）尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：
（4）當(dāng)

CE

CB

=

1

n

時，請直接寫出

S正方形ABCD

S正方形DEFG

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DE⊥DG；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點F，得到正方形DEFG；
（3）由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；
（4）由已知表示出

S正方形ABCD

S正方形DEFG

的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△DAG，
∴DE=DG，
∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°
∴DE⊥DG．

（2）解：如圖．


（3）解：四邊形CEFK為平行四邊形．
證明：設(shè)CK、DE相交于M點
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四邊形CKGD是平行四邊形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四邊形CEFK為平行四邊形．

（4）解：∵

CE

CB

=

1

n

，
∴設(shè)CE=x，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+x²=（n²+1）x²，
∵BC²=n²x²，
∴

S正方形ABCD

S正方形DEFG

=

BC2

DE2

=

n2

n2+1

．

點評：此題考查的知識點是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及作圖，解題的關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜．