Question

如圖，直線y=x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。
（1）求Rt△ABC的面積；
（2）說(shuō)明不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP的面積都是一個(gè)常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

解：（1）令y=x+1中x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）； 令y=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0）， 由勾股定理可得AB=， 故可得S△ABC=AB·AC=； （2）不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP都可以以BO=1為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高， 所以S△BOP=為常數(shù)； （3）分兩種情況： ①當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)， ∵S△ABO=1，S△APO=﹣a，S△BOP=， ∴S△ABP=S△ABO+S△APO﹣S△BOP=S△ABC=， 即1﹣a﹣=， 解得a=﹣2， ②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)， ∵S△ABO=1，S△APO=a，S△BOP=， ∴S△ABP=S△BOP+S△APO﹣S△ABO=S△ABC=， 即+a﹣1=， 解得a=3， 綜上可得a=﹣2或3。