Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線交BC于N，交AC于F，

（1）求證：BM=MN=NC．

（2）求MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）見解析（2）3cm

【解析】

試題分析：（1）連接AM、AN，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)推出BM=AM，CN=AN，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAM=∠CAN，∠B=∠C，根據(jù)ASA證△BAM≌△CAN，推出AM=AN，證出△AMN是等邊三角形即可；

（2）代入MN=BC，即可求出答案．

【解析】
（1）證明：連接AM、AN，

在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

又∵M(jìn)E、NF分別垂直平分AB、AC，

∴AM=BM，AN=NC，

∴∠MBA=∠MAB=30°，∠NAC=∠NCA=30°，

∴∠MAN=60°，

在△ABM和△ANC中

，

∴△ABM≌△ANC，

∴AM=AN，

△AMN為等邊三角形，

∴AM=MN=AN，

∴BM=MN=NC．

（2）由（1）知：MN=BC=3（cm），

答：MN的長(zhǎng)度是3cm．