Question

如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)B（4，0）在此拋物線上．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為C，點(diǎn)D（x，y）為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線y=2的垂線，垂足為E．
①用含y的代數(shù)式表示CD²，并猜想CD²與DE²之間的數(shù)量關(guān)系，請給出證明；
②在此拋物線上是否存在點(diǎn)D，使∠EDC=120°？如果存在，請直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+1，代入B（4，0），得：
a（4-2）²+1=0，解得：a=-
∴拋物線的解析式：y=-（x-2）²+1．

（2）①猜想：CD²=DE²；
證明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：
CD²=（x-2）²+y²，DE²=（y-2）²；
由（1）知：（x-2）²=-4（y-1）=-4y+4，代入CD²中，得：
CD²=y²-4y+4=（y-2）²=DE²．
②由于∠EDC=120°＞90°，所以點(diǎn)D必在x軸上方，且拋物線對稱軸左右兩側(cè)各有一個，以左側(cè)為例：
延長ED交x軸于F，則EF⊥x軸；
在Rt△CDF中，∠FDC=180°-120°=60°，∠DCF=30°，則：
CD=2DF、CF=DF；
設(shè)DF=m，則：CF=m、CD=DE=2m；
∵EF=ED+DF=2m+m=2，
∴m=，DF=m=，CF=m=，OF=OC-CF=2-，
∴D（2-，）；
同理，拋物線對稱軸右側(cè)有：D（2+，）；
綜上，存在符合條件的D點(diǎn)，且坐標(biāo)為（2-，）或（2+，）．
分析：（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入B點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可．
（2）①由坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式不難得到CD²和DE²的表達(dá)式，再將（1）的拋物線解析式代入CD²的表達(dá)式中，用y替換掉x后，比較兩者的大小關(guān)系即可；
②∠EDC是鈍角，那么點(diǎn)D一定在x軸的上方，且拋物線對稱軸的左右兩側(cè)各一個（它們關(guān)于拋物線對稱軸對稱），延長ED交x軸于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF=DF，設(shè)出DF的長后，可以表示出CD、DE的長，由EF=ED+DF=2即可得出DF的長，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了拋物線解析式的確定、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式、解直角三角形等重要知識；（2）題中，由于①題為②題做了鋪墊使得總體的難度降低了不少，最后一題中，一定要注意所求點(diǎn)的位置可能有多種情況．