Question

如圖1，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），且a、b滿足

a-b + a2-144

a+12

=0．
（1）求證：∠OAB=∠OBA．
（2）如圖2，△OAB沿直線AB翻折得到△ABM，將OA繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF處，連接OF，作AN平分∠MAF交OF于N點(diǎn)，連接BN，求∠ANB的度數(shù)．
（3）如圖3，若D（0，4），EB⊥OB于B，且滿足∠EAD=45°，試求線段EB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由

a-b + a2-144

a+12

=0，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性，即可求得a與b的值，即可得OA=OB，即可證得結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)可得四邊形OAMB是正方形，即可得∠OBA=45°，又求得∠ONA=45°，即可得點(diǎn)O，A，M，B四點(diǎn)共圓，即可求得AB是直徑，由圓周角定理，即可求得∠ANB的度數(shù)．
（3）連接AB，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，易求得∠EAF=∠OAD，即可得AF=3EF，繼而求得△BEF是等腰直角三角形，由OA=OB，求得AB的長(zhǎng)，繼而求得EF的長(zhǎng)，則可求得線段EB的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵

a-b + a2-144

a+12

=0，
∴

a-b=0 a2-144=0 a+12≠0

，
解得：a=b=12，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（12，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，12），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA；

（2）∵△OAB沿直線AB翻折得到△ABM，
∴OA=OB=AM=BM，
∴四邊形OAMB是矩形，
∵∠BOA=90°，
∴四邊形OAMB是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵AN是∠MAF的平分線，
∴∠NAF=

1

2

∠MAF，
∵將OA繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF處，
即OA=FA，
∴∠FOA=∠F，
∵∠FAE=∠FOA+∠F，
∴∠F=

1

2

∠FAE，
∴∠ONA=∠NAF+∠F=

1

2

∠MAF+

1

2

∠FAE=

1

2

（∠MAF+∠FAE）=45°，
∴∠OBA=∠ONA，
∴點(diǎn)O，A，N，B共圓，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，
∴∠ANB=90°；

（3）連接AB，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
即∠OAD+∠BAD=45°，
∵∠EAD=45°，
∴∠BAD+∠EAF=45°，
∴∠OAD=∠EAF，
∵點(diǎn)D（0，4），
∴OD=4，
∴tan∠EAF=tan∠OAD=

OD

OA

=

1

3

，
在Rt△FAE中，∠EFA=90°，
∴tan∠EAF=

EF

AF

=

1

3

，
∴AF=3EF，
∵BE⊥OB，
∴∠EBF=45°，
∵∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠EBF=45°，
∴BF=EF，
∴AB=AF+BF=4EF，
∵OA=OB=12，
∴AB=12

2

，
∴EF=3

2

，
∴EB=

2

EF=3

2

×

2

=6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、分式有意義的條件、正方形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意折疊與旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．