Question

如圖，AD、CE分別為△ABC的邊BC、AB上的高，G是AC的中點，F(xiàn)G⊥DE，垂足為F．求證：
（1）F是DE的中點；
（2）A、D、C、E在以G為圓心的同一個圓上．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）如圖，連接GE、GD．利用直角△ACE和直角△ACD斜邊上的中線的性質(zhì)求得GE=GD，則由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）點E、D都在以AC為直徑的圓上．又由G是AC的中點，知道點G是圓心．

解答：證明：（1）如圖，連接GE、GD．
∵G是AC的中點，
∴在直角△ACE中，GE=

1

2

AC．
在直角△ACD中，GD=

1

2

AC，
∴GE=GD．
又∵FG⊥DE，
∴點F是DE的中點；

（2）由（1）知，GE=GD=

1

2

AC．
∵點G是AC的中點，
∴GA=GC，
∴GA=GC=GE=GD，
∴點A、C、E、D都在以AC為直徑的圓上，且圓心是點G．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線和等腰三角形的判定與性質(zhì)．證明（2）題時，利用了圓的定義．