Question

（2012•南關區(qū)模擬）思考與推理
如圖①，在矩形ABCD中，點E為CD的中點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，過點E作EM⊥AF交BC于點M，連接AM，請思考并判斷AE與EF、∠1與∠2具有怎樣的數量關系？并推理說明你的判斷
探究與應用
如圖②，在梯形ABCD中，點E為CD的中點，連接AE，過點E作EM⊥AE交BC于點M，連接AM．若∠EMC=70°，則∠DAE=

20

°．

Answer 1

分析：思考與推理：根據中點定義可得DE=CE，然后利用“角邊角”證明△ADE和△FCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=EF，全等三角形對角相等可得∠2=∠F，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=MF，根據等邊對等角可得∠1=∠F，從而求出∠1=∠2；
探究與應用：先求出∠AME=∠EMC，再根據直角三角形兩銳角互余求出∠EAM，然后根據∠DAE=∠EAM即可得解．

解答：解：思考與推理：
∵點E為CD的中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，

∠3=∠4 DE=CE ∠D=∠ECF=90°

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，∠2=∠F，
∵EM⊥AF，
∴AM=MF，
∴∠1=∠F，
∴∠1=∠2；

探究與應用：∵∠EMC=70°，
∴∠AME=∠EMC=70°，
∵EM⊥AE，
∴∠EAM=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠EAM=20°．
故答案為：20．

點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，比較簡單，熟記性質并找出三角形全等的條件是解題的關鍵．