Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與GB的大小關(guān)系是

1. A.
   CF＞GB
2. B.
   GB=CF
3. C.
   CF＜GB
4. D.
   無法確定

Answer 1

B
分析：用觀察和作圖的方法可以猜測CF=GB．下面只要證明CF=GB即可．由條件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足為H，連接EH，易證菱形CEHF，平行四邊形EHBG，故有CF=EH=GB，從而得證．要證明菱形CEHF，只需證明兩對邊平行，臨邊相等，根據(jù)菱形的定義即可證明．要證平行四邊形EHBG，兩對邊平行即可．關(guān)于證明EH∥BC，只需證明∠AHE=∠B，通過在Rt△ACD與Rt△ACD中，證明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解答：解：過F做FH⊥AB且交于點H，連接EH，
在△ACF與△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E?，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE與△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD與∠CAB為同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四邊形CEHF為菱形，四邊形EGBH為平行四邊形，
∴CF=EH，EH=GB，
∴CF=GB．
故選B．
點評：本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)．難點在于恰當添加輔助線FH、EH，根據(jù)題意證明菱形CEHF，平行四邊形EHBG．此類題學(xué)生丟分率較高，需注意．